Aplicación del álgebra matricial para la solución de sistemas de ecuaciones lineales

Aplicacion del álgebra Matricial

Resumen 

Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales (de primer grado) se utilizan comúnmente tres tipos de procedimientos:

·        Métodos algebraicos, clasificados como métodos de sustitución, igualación o reducción.

·        Métodos gráficos, donde cada ecuación del sistema se corresponde con un plano, en el caso de que el sistema sea de tres incógnitas, de forma que las soluciones del sistema coinciden con los puntos de intersección de todos los planos.

·        Métodos matriciales, basados en el uso de la teoría de matrices.

Métodos matriciales

Un sistema de ecuaciones lineales puede expresarse en forma matricial de la manera siguiente:

C × X = B

donde C es la matriz de los coeficientes, X la de las incógnitas y B la de los términos independientes

En la resolución de sistemas de ecuaciones lineales por métodos matriciales se emplean normalmente dos procedimientos alternativos: el de la matriz inversa y el método de eliminación gaussiana.

El Método de la matriz inversa

Un procedimiento rápido para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante matrices es el llamado método de la matriz inversa. Esta técnica consiste en multiplicar por la izquierda los dos miembros de la expresión matricial del sistema de ecuaciones por la matriz inversa de la de los coeficientes (si existe). De este modo: X = A^-1.B

Cuando la matriz de los coeficientes no es inversible, el sistema no tiene solución (es incompatible).

El Método de eliminación Gaussiana

Consiste en obtener una matriz triangular equivalente a la matriz ampliada del sistema.

El procedimiento más utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante matrices es el llamado método de eliminación gaussiana, que consta de los siguientes pasos:

·        Se forma la matriz ampliada del sistema incorporando a la de los coeficientes, por la derecha, una nueva columna con los elementos de la matriz de los términos independientes.

·        Se aplican operaciones elementales sobre las filas de esta matriz ampliada, hasta lograr que por debajo de la diagonal principal de la matriz todos los términos sean nulos.

·        Se obtiene entonces un sistema equivalente de ecuaciones de resolución inmediata.

·          Este método permite también realizar una rápida discusión del sistema:

·        Si la última fila de la matriz resultante de la transformación de la ampliada produce una ecuación del tipo 0x + 0y + cz = k, con k ¹ 0, el sistema es compatible determinado (tiene una solución única).

·        Cuando esta última fila corresponde a una ecuación del tipo 0x + 0y + 0z = k, el sistema es incompatible (carece de solución).

·        Si esta última fila se traduce en una ecuación del tipo 0x + 0y + 0z = 0, el sistema será compatible indeterminado (con infinitas soluciones).

Regla de Cramer

Un sistema de ecuaciones lineales se dice de Cramer cuando cumple las siguientes condiciones:

·        Es un sistema cuadrado, con igual número de ecuaciones que de incógnitas.

·        El determinante de la matriz de los coeficientes asociada es distinto de cero.

En consecuencia, un sistema de Cramer es siempre compatible determinado (tiene una solución única).

Para calcular la incógnita xi del sistema de ecuaciones lineales, se sustituye la columna i de la matriz de coeficientes por los términos independientes, se obtiene el determinante de la matriz resultante y se divide este valor por el del determinante de la matriz de los coeficientes. Por tanto, la solución de un sistema de Cramer se obtiene hallando cada incógnita X_i según la fórmula:

Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes.

Δ₁, Δ₂ , Δ₃, ... , Δ_n son los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º miembro (los términos independientes) en la 1ª columna, en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente.

Preguntas

¿Cual de los métodos es el más indicado para resolver un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas y por qué?

El método mas conveniente es el de Gauss porque al utilizarlo se pueden resolver hasta 15 ecuaciones simultaneas, los resultados que arrojan son mas precisos y las operaciones son mas sencillas que en otros métodos.

¿Que ventaja tiene resolver un sistema de ecuaciones dos por dos con el método de determinantes?

El sistema de ecuaciones se resuleve de una manera mas rapida y eficaz, debido a que se puede reducir operaciones y despejes que haría mas largo el metodo y a diferencia del método de Gauss, no requiere pivoteo.

Enumere al menos tres métodos para calcular un determinante

Regla de Sarrus: Se deben aumentar dos filas o dos columnas a continuacion del determinante. se multiplican los elementos de las diagonales principales y secundarias pero el resultado de estos van con el signo cambiado, se suman los resultados y ese el el valor del determinante.

Método de Estrella: Es similar al de Sarrus pero aqui no se aumentan ni filas ni columnas pasamos a multiplicar directamente, manteniendo el criterio de seguir las diagonales para lo cual se debe observar el camino que estas siguen.

Desarrollo por menores y cofactores: Debemos escoger una fila o una columan, preferiblemente la fila o columna que contenga el mayor numero de ceros.

• Cofactor: son los elementos que pertenecen a la fila o columna que escogimos el signo de este se define por su posición (ij) si i+j es par será positivo y si i+j es impar seránegativo.
• Menor: vamos a llamar menor al determinante que se forma de los elementos que no se encuentran ni en la fila o columna del cofactor.

Entonces se prosigue a la multiplicación de los cofactores por su respectivo menor y se suman los resultados para llegar al valor del determinante.

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